Проверили модель, настройки программного комплекса и расчета. С виду все выглядит правильно, но в ходе выполнения расчета появляются ошибки. Знакомая ситуация? Тогда эта статья для вас. Инженеры нередко сталкиваются с одними и теми же ошибками.

Часто бывает, что нелинейный расчет не может достичь сходимости после того, как он отлично отработал в линейной области. Скорее всего, проблема в сетке конечных элементов. Создание сетки конечных элементов и ее управление — важный шаг в решении задач методом конечных элементов (МКЭ), и вычисленные результаты в КЭ имеют тенденцию быть наиболее точными, когда элементы являются компактными, без большого удлинения, перекоса и деформации, что подтверждено множество раз опытным путем.

Что вызывает искажение элементов?

Искажение элемента может произойти при описании геометрической неровности. Использование большей плотности (количества) элементов и более мелкого размера сетки в этих местах может помочь повысить точность результатов расчета и качество сетки. Однако использовать один и тот же мелкий шаг сетки по всей геометрии нецелесообразно и неэкономично, поскольку более крупный шаг сеток вполне подходит для описания геометрически более простых частей модели. Более крупный шаг сеток также применим, когда приложение нагрузки находится достаточно далеко от зоны интереса, а ожидаемый соответствующий эффект напряжений является тривиальным и вызывает незначительную деформацию. Следовательно, для моделей, которые имеют как мелкую, так и грубую сетку, искажение элементов может произойти из-за изменения размера сетки. На Рисунке 1 показаны искаженные элементы из-за перехода от крупных элементов к мелким. Они выделены зеленым цветом.

Рисунок 1. Искаженные элементы из-за перехода от крупных элементов к мелким

Искажение элементов также может происходить из-за связи между наборами сеток конечных элементов (Mesh Sets). В МКЭ связь объектов обеспечивается с помощью узловых соединений. Следовательно, самый простой способ смоделировать два соединяющихся объекта — это объединить узлы на их соединяющих границах. Однако, когда два набора сеток конечных элементов имеют разные размеры сетки, требуется переход элементов сетки (переходные элементы).

Как проверить качество элементов?

Помимо искажения элементов, относительный размер между соединенными элементами, форма и качество сетки конечных элементов оказывают большее влияние на результаты расчета, чем ее абсолютный размер: крупный или мелкий. Следовательно, после создания сеток важно проверить их качество, и в случае необходимости внести изменения.

Для того, чтобы проверить качество созданных конечных элементов в программном комплексе нужно вызвать соответствующий инструмент. Например, в расчетных комплексах midas GTS NX и midas FEA NX инструменты для такой проверки находятся по следующему пути: Mesh — Tools — Check — Check Mesh Quality.

Рисунок 2. Диалоговое окно для проверки качества конечных элементов

Критерии для проверки качества конечных элементов

Соотношение сторон (Aspect Ratio)

Соотношение сторон — это отношение между шириной и длиной или отношение самой длинной стороны к самой короткой стороне 2D-элемента. Например, квадрат имеет одинаковую ширину и длину, следовательно, имеет соотношение сторон 1. По мере того, как форма отклоняется от формы квадрата, соотношение сторон становится больше. Значение близкое к 1 является идеальным — это соотношение оказывает существенное влияние на результат расчета и, если значение очень велико, может быть трудно получить нормальные результаты расчета, за счет того, что в элементах могут возникать концентрации напряжений и прочие эффекты.

Например, элемент с критерием «Aspect Ratio», равным 8, имеет самую длинную из сторон в восемь раз больше, чем самая короткая.

Рисунок 3. Соотношение сторон в конечных элементах

Угол наклона (Skew Angle)

Угол наклона описывает насколько форма элемента отклоняется от прямоугольной формы (90 градусов), измеренная в углах. Четырехугольник образует угол 90 градусов, угол наклона (Skew Angle) равен 0 градусов, это значение увеличивается по мере отклонения формы от четырехугольника. Для твердотельного элемента угол наклона проверяется для каждой грани, и в качестве угла наклона выбирается наименьшее значение. Значение, близкое к 0 лучше. На Рисунке 4 показан угол наклона треугольных и четырехугольных элементов.

Рисунок 4. Угол наклона для треугольных и четырехугольных элементов

Коробление (Warpage)

Коробление (перекос) оценивает, насколько форма выходит за пределы плоскости. Для четырехугольного 2D-элемента, все узлы которого находятся в одной плоскости, значение равно 0. Значение увеличивается по мере отклонения формы от плоскости. Для твердотельного элемента коробление проверяется для каждой прямоугольной грани, и наименьшее значение выбирается в качестве значения коробления. Значение близкое к 0 лучше. Этот критерий влияет на результат расчета, и если значение очень велико, может быть трудно получить корректные результаты расчета. На Рисунке 5 показано, как рассчитывается величина коробления.

Рисунок 5. Определение значения критерия коробления

Конусность (Taper)

Данный критерий геометрически рассчитывает, насколько отклоняется четырехугольник. Не применяется к треугольным элементам. Четырехугольник имеет значение 1 и значение уменьшается по мере отклонения — это означает, что он становится ближе к треугольной форме по сравнению с его прямоугольной формой. Для твердотельного элемента значение конуса проверяется для каждой грани и наименьшее значение выбирается в качестве значения конуса. Значение близкое к 1 лучше. На Рисунке 6 показано, как рассчитывается конусность.

Рисунок 6. Определение значения критерия конусности

Отношение Якоби (Jacobian Ratio)

Определитель Якоби вычисляется в каждой интегральной точке Гаусса на сетке конечных элементов. Отношение Якоби — это отношение между наибольшим и наименьшим значениями детерминанта (определителя) Якоби. Для 2D-элементов определитель Якоби рассчитывается на элементе, спроецированном на плоскость. Для твердотельных элементов определитель Якоби рассчитывается напрямую. Если четырехугольный элемент не выпуклый, выводится отрицательное значение и расчет не выполняется должным образом. Определитель Якоби не должен быть отрицательным. Четырехугольные элементы должны быть выпуклыми, чем выше значение отношения Якоби, тем лучше.

В двух четырехузловых элементах, показанных ниже, элемент (а) допустим, а элемент (б) — нет.

Рисунок 7. Допустимая форма элемента при оценке критерия Jacobian Ratio: а — допустимая форма, б — недопустимая форма

Скручивание (для твердотельных элементов) (Twist Angle)

Величина, которая характеризует скручивание двух противоположных граней твердотельного элемента — одной относительной другой.

Рисунок 8. Скручивание твердотельных элементов

Для всех шести, указанных выше условий программный комплекс midas GTS NX или FEA NX выполняет автоматическую проверку и выделяет элементы, которые не удовлетворяют критериям, заданным пользователем.

Как предотвратить искажение элемента?

Для управления сеткой конечных элементов в программном обеспечении, основанном на методе конечных элементов, пользователям предоставляется большое количество инструментов, помогающих кастомизировать и сделать сетки конечных элементов качественными.

Например, в midas GTS NX или midas FEA NX есть инструменты: Mesh — Control — Size Control. Инженеры могут использовать данный инструмент управления и настройки перед генерацией сеток конечных элементов в одном из трех режимов: Point, Edge, Custom.

Режим Point

Укажите размер элементов в окрестностях выбранной точки. Опция применима только для точек, принадлежащих поверхности или являющихся внутренними объектами. Точки, расположенные на подчиненных формах (углы поверхности) автоматически игнорируются в процессе создания конечно-элементных сеток.

Например, инженеры могут указать размер элементов, окружающих выбранную точку, как показано на Рисунке 9.

Рисунок 9. Управление сеткой конечных элементов через Size Control — Point

Режим Edge

Вы можете выбрать грани (линии) и использовать один из пяти описанных ниже методов, чтобы определить положение узлов сетки на выбранных гранях (размер сетки). Расстояние между узлами может быть задано напрямую, либо выбранная линия может быть разбита узлами на заданное число равных или переменной (по линейному закону) длины отрезков, как показано на Рисунке 10. Это особенно полезно на границе соединения нескольких объектов, где подразумевается использование сеток конечных элементов разных размеров.

Рисунок 10. Управление сеткой конечных элементов через Size Control — Edge

• Фиксированный типоразмер элементов (Interval Length)

  Задайте регулярное расстояние между узлами в активной системе единиц измерения.

• Фиксированное число делений грани (Number of Divisions)

  Деление выбранной линии на несколько участков, в соответствии с указанным значением.

• Линейный закон деления (Длина) (Linear Grading (Length))

  Задайте расстояние между начальной и конечной точкой линии, чтобы автоматически определить расположение узлов путем линейной интерполяции.

• Линейный закон деления (Коэффициент) (Linear Grading (Ratio))

  Задайте коэффициент деления (начальный/конечный) от начальной до конечной точки линии.

• Гиперболический закон деления (Hyperbolic Tangent)

  Укажите начальную длину элемента и число делений, чтобы определить расстояние между узлами с учетом полной длины линии и числа делений.

Режим Custom

Вы можете указать расположение узлов на выбранной грани путем прямого задания координат узлов в табличной форме. Задание коэффициента в пределах от 0 до 1 позволяет автоматически вычислить положение узла на выбранной линии.

Таким образом инженер может полностью контролировать, как качество создаваемых сеток конечных элементов, так и процесс их генерации, что в итоге приведет к качественной сетке конечных элементов в расчетной модели и, как следствие, к качественным результатам расчета.

В заключение

Часто встречаются случаи, когда мелкая сетка необходима вокруг конструктивных объектов или в той области, где нужно детально проанализировать результаты расчета. Например, ожидаются значительные перемещения и изменение напряжения вокруг места приложения нагрузки или значение момента может быть высоким вдоль части балочного элемента какой-либо конструкции. Для экономии ресурсов и времени имеет смысл генерировать мелкую сетку конечных элементов только вблизи указанных областей, а остальной массив модели описывать с помощью более крупной сетки. Описанное выше управление сеткой может быть реализовано для соединения мелкой и крупной сеток, которая моделирует объединенные узлы на границах набора сеток и плавный переход размера элемента для предотвращения искажения элементов.