Размеры конечных элементов в расчетных моделях и их влияние на результаты

Как инженеры всякий раз, когда нам нужно проанализировать сложную конструкцию, мы обращаемся к анализу методом КЭ для быстрого решения задачи с приемлемой точностью. Стандартной модели, состоящей из балочных элементов, в большинстве случаев вполне достаточно. Однако есть несколько случаев, когда нам может понадобиться подробный трехмерный анализ с использованием плитных элементов. К таким случаям относятся: анализ потери устойчивости или нелинейный анализ материала Но, при этом, создание сетки имеет значение даже в простом линейном анализе. Давайте рассмотрим то, как зависят результаты расчета от размеров КЭ и как анализировать эти результаты.

Одна из самых основных вещей, которую мы должны прояснить — это значение дискретизации. Расчеты и вывод результатов выполняются в узлах элемента. Итак, для получения требуемых результатов реальную конструкцию мы аппроксимируем конечными элементами, даже самая простая модель всегда состоит из нескольких конечных элементов. Какое количество элементов необходимо для того, чтобы корректно описать поведение такой модели?

Давайте рассмотрим свободно опертую стальную балку с равномерно распределенной нагрузкой. Расчет будет выполняться в линейной постановке. Поперечное сечение балки прямоугольное h=500 мм b=50 мм, длина пролета 3 м. Вертикальная погонная нагрузка равна 100 кН/м. Простыми ручными расчетами мы можем подтвердить максимальный изгибающий момент и перемещение для такой балки (без учета деформации сдвига).

формула

Где q — распределенная погонная нагрузка, l — длина пролета балки, E — модуль упругости материала балки, I = b*h^3/12 — момент инерции балки на изгиб, Mmax — максимальный изгибающий момент в середине пролета, f — максимальный прогиб балки в середине пролета (без учета сдвиговых деформаций).

Теперь давайте посмотрим на результат, который мы получили бы от программного обеспечения, выполняющего расчет на основе метода конечных элементов, такого как midas Civil (рис. 1).

Вертикальные перемещения балки, состоящей из одного, трех, двух и шести стержневых элементов.
Рисунок 1. Вертикальные перемещения балки, состоящей из одного, трех, двух и шести стержневых элементов.

Можно отметить, что когда вся 3-метровая балка моделируются одним элементом (рис. 1 — а), прогиб составляет 0 мм. Когда то же самое делается для трёх элементов (рис. 1 — б), максимальное значения прогиба пропускается. Верное значение вертикальных перемещений мы получаем, когда трехметровая балка моделируется двумя элементами (рис. 1 — в); однако изогнутая форма явно не та, которую мы фактически ожидали увидеть. Когда эта же балка моделируется при помощи 6 элементов (рис. 1 — г), искривленная форма балки и максимальное перемещение соответствуют нашим ожиданиям.

Рисунок 2. Изгибающие моменты в балке, состоящей из одного, трех, двух и шести стержневых элементов.
Рисунок 2. Изгибающие моменты в балке, состоящей из одного, трех, двух и шести стержневых элементов.

Но как быть с изгибающими моментами (рис. 2)? Почему максимальный изгибающий момент одинаков для всех четырех вариантов, независимо от количества элементов, из которых состоит расчетная модель?! Как упоминалось ранее, вычисления методом конечных элементов происходят в узлах! Здесь мы получаем правильные значения изгибающих моментов, потому что midas Civil внутренне делит каждый элемент на 4 равные части и для каждой из них определяет значения усилий. Таким образом, максимальные значения изгибающих моментов определяются независимо от количества делений элемента.

Однако это делается только для линейного анализа. Теперь давайте посмотрим на результаты изгибающего момента для нелинейного статического анализа (рис. 3). Расчет можно выполнить с учетом как геометрической, так и физической нелинейности.

Изгибающие моменты в балке состоящей из одного, трех, двух и шести стержневых элементов (в нелинейной постановке).
Рисунок 3. Изгибающие моменты в балке состоящей из одного, трех, двух и шести стержневых элементов (в нелинейной постановке).

Из рисунка 3 снова можно отметить, что балки, состоящие из 1 элемента (рис. 3 — а) и 3 элементов (рис. 3 — б), не имеют пиковых значений изгибающих моментов. Балка, состоящая из 2 элементов (рис. 3 — в), показывает эпюру изгибающего момента с правильным максимальным значением момента, при этом форма эпюры неверная. Балка, состоящая из 6 элементов (рис. 3 — г), дает правильную форму эпюры и корректные значения момента даже для нелинейного анализа. Итак, верно ли будет всегда делать модель с очень мелкой сеткой конечных элементов? Не обязательно, но об этом позже.

Влияние размеров сетки при использовании плитных конечных элементов

Можно быть либо хорошим МКЭ кодировщиком, либо пользователем. Если вы читаете эту статью, вы, вероятно, относитесь ко второй категории, как и я. Хотя существует множество математических уравнений, которые необходимо решить, чтобы получить решение модели методом конечных элементов, мы можем допустить значительное упрощение для облегчения понимания пользователем данных вычислений. Мы можем сказать, что любая конечно-элементная модель представляет собой не что иное, как набор узлов, соединенных пружинами разной жесткости, и все расчеты сводятся к получению конечного результата в этих узлах. На самом деле вычисления происходят в «точках Гаусса» где-то в элементе, а результаты затем экстраполируются для получения выходных данных в местах расположения узлов, но нам на практике не нужно знать много подробностей об этом. Итак, нам ясно, что для нас важна жесткость, соединяющая узлы, а не сами элементы.

Данное упрощение приводит к появлению другого вопроса. К одному узлу может быть подключено много элементов и результат в точке Гаусса для каждого из этих элементов будет разным. Следовательно, когда результаты экстраполируются в местоположении узла, этот общий узел будет иметь разные результаты для каждого элемента! В таком случае, какой из всех результатов в элементах, относящихся к одному узлу, правильный?! Ответ: правильные они все! Да, это может показаться странным, но это так. Чтобы получить единый результат, в midas Civil есть простой способ усреднения результатов в узле, что приводит к более гладким контурам при отображении изополей напряжений в плитных конечных элементах. На рисунке 4(а) показаны напряжения в плитных элементах при отображении результатов в узлах каждого элемента, а на рисунке 4(б) среднеузловые значения напряжений.

Изополя напряжений в плитных элементах при использовании грубой сети.
Рисунок 4. Изополя напряжений в плитных элементах при использовании грубой сети.

Отлично! При крупном размере сети конечных элементов среднеузловой результат выдает более плавное распределение напряжений. Является ли данный результат приемлемым? Вот где в игру вступает уточнение (уменьшение размеров) сетки. При более мелкой сетке разница результатов в узлах элементов с учетом усреднения и без усреднения уменьшится, и результат будет приближаться к фактическому. Теперь давайте посмотрим на разницу в выводе грубой и уточненной сетки (рис. 5).

Сравнение изополей напряжений для грубой и уточненной сетки.
Рисунок 5. Сравнение изополей напряжений для грубой и уточненной сетки.

Как можно заметить на изображении выше, уточненная сетка (рис. 5 — (б)) дает контур, который вполне сопоставим между отображаемыми результатами в элементах и среднеузловых значениях, в то время как для грубой сетки (рис. 5 — (а)) наблюдаются большие различия в результатах. Итак, каков правильный размер сетки? К сожалению, однозначного ответа на этот вопрос нет. Правильный размер сетки зависит от многих параметров, таких как приемлемая точность, время вычислений, время создания сетки (особенно для сложной геометрии) и т. д. Нам необходимо получить правильный размер сетки в зависимости от желаемого результата и доступного времени. Однако все согласны с тем, что когда изменение желаемого результата составляет менее 3% при уточнении сетки, тогда это точно будет являться приемлемым размером.

Теперь мы знаем, что более мелкая сетка приводит к более точным результатам в большинстве случаев. Однако бывает так, что нас интересует очень конкретный результат в относительно большой конструкции. И уменьшение размеров всей сетки в модели не имеет большого смысла, потому что время расчета может увеличиться в геометрической прогрессии. В таких случаях мы можем создать более грубую сетку или вообще создать модель из других элементов (стержневых) в той области, которая нас не интересует, и сделать более мелкую сетку в интересующей нас области. В качестве примера рассмотрим стальную U-образную балку, для которой необходимо выполнить нелинейный расчет потери устойчивости. Это 30 метровая балка. Сделаны 2 модели для проверки устойчивости этой балки под сосредоточенной нагрузкой расположенной в центральной части пролета (рис. 6).

Сравнение изополей напряжений для глобальной пластинчатой балки (а) и локальной пластинчатой (б).
Рисунок 6. Сравнение изополей напряжений для глобальной пластинчатой балки (а) и локальной пластинчатой (б).

Расчет глобальной пластинчатой модели занял около 120 секунд, тогда как расчет локальной плитной модели занял около 32 секунд. Время, необходимое для расчета полной пластинчатой модели, было в 4 раза больше, чем для локальной пластинчатой модели. Тем не менее, разница результатов расчета между двумя моделями составила менее 3%. Для более крупной и сложной расчетной модели экономия ресурсов может оказаться еще более значительной!

Размеры конечных элементов в расчетных моделях и их влияние на результаты